黎曼猜想即将解开？一篇文章讲清楚这个“纯数学领域最重要的问题之一”

昨天，一条大新闻炸翻了学术界：著名数学家、菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主阿提亚爵士（Sir Michael Francis Atiyah）宣布要在本月24号（也就是3天后）在海德堡宣讲自己对于黎曼猜想的证明。本文来自微信公众号： 果壳（ID：Guokr42） ，作者： Yilong（群论研究公众号，清华大学丘成桐数学中心助理教授，UCLA数学PhD），原文标题： 《黎曼猜想即将解开？这个“纯数学领域最重要的问题之一”，一篇文章讲清楚》。

数学家们有个笑话：怎样用世界上最难的方法挣到100万美元？

答：去证明黎曼猜想吧！

这是因为2000年5月的时候，美国克雷数学研究所 （Clay Mathematics Institute, CMI） 为了呼应1900年希尔伯特提出的23个历史性数学难题 （也称“希尔伯特难题”） 而设立的了一个成为“千禧难题”的数学问题挑战，一共7个问题，解出一道便可获得100万美元的奖金，挑战时间不限，题解必须发表在国际知名刊物上，并且要通过2年的验证期和专家小组的审核。

这7个问题中，以黎曼猜想最为著名，它是数论的分支解析数论的一大研究主题：质数的分布。据说，每年各大研究中心都会收到无数的神秘来信声称自己证明了“黎曼猜想”，数学家们跃跃欲试，科学界也一直热切关注。

所以备受瞩目的“黎曼猜想”究竟是个啥？跟我们有关系吗？

请收看《黎曼猜想，质数阴谋论，以及你不能说的秘密》：

一、为什么研究质数

黎曼猜想是一个数论里面的重要猜想，几百年来无人能解。那么，这么困难复杂的数学猜想，跟你有关系吗？请先看我瞎编的这样一个故事：

有一天，我的一个学数学的朋友给我发了一条微信，里面只有一串数，983040000。

我看到了之后，顿时觉得不妙，赶紧约这个朋友出来谈心。果然，他被女友甩了，悲伤绝望，有点想不开。

终于，在我的劝说下，朋友成功走出了阴霾，找回了面对人生的信心。

那么我是怎么知道这个朋友不开心的呢？因为983040000=2 ¹⁹ ·3 ¹ ·5 ⁴ 。这里面把质数从小到大排序：

• 第一小的质数 （也就是2） 出现了19次；

• 第二小的质数 （也就是3） 出现了1次；

• 第三小的质数 （也就是5） 出现了4次。

因此如果认为这代表一个单词，那么第一个位置上的字母是第19个字母 （S） ，第二个位置上的字母是第1个字母 （A） ，而第三个位置上的字母是第4个字母 （D） ：合起来就是SAD。所以我知道这个朋友一定遇到伤心的事情了。

当然这个故事是我瞎编的。但是我们的生活中，无论是银行数据，还是国家机密，还是个人隐私，这些东西的保护都离不了密码，离不了加密的手段。

如果我想给你一串信息，又不想让其他人知道，怎么办呢？咱俩可以先商量好几个特别特别大的质数，比如说p、q和r。如果我想给你发送一个秘密的数字378，那么我实际上给你发送p ³ q ⁷ r ⁸ ，一个巨大无比的数字。从我这里的角度，我可以很轻易的用计算机算出来这个乘法，得到结果发给你。从你的角度，你拿到了这个巨大的数字之后，只需要用p、q和r去除，就可以很快把幂解出来，得到378。

但是假设某个坏蛋截取了我发的这个秘密信息，那么想要知道内容，他就必须分解质因数。然而在不知道p、q和r的前提下，分解质因数是一个非常复杂和缓慢的过程，他可能需要好几百年才能破译出来。如此，我们的秘密就得到了保护。

这里面注意，p、q和r都必须要特别大，这时候分解质因数才会特别慢，甚至几百几千年。如果p、q和r分别是2，3和5，那么分解质因数就非常快了，可能一秒钟完事。

所以说，找到大的质数，了解质数都分布在哪里，是一个十分重要的事情。

二、质数规律

数学家多年研究，发现了一个惊人的事情：质数分布最大的规律，就是它几乎完全随机！

这里我们举一个简单的例子。假设我们从0到1之间均匀地随机挑一个实数。那么首先，我们知道这个实数的平均值应该是1/2。另一方面，这个随机的实数当然不一定是1/2，1/2只是在描述它平均的时候的样子。实际上它和1/2往往会有一定的正的或者负的偏差。

一个数学家发现的重大规律就是这个：平均来讲，1到n的正整数中一共有

个质数。当然，这并不是说1到n里面一定有恰好n/ln(n)个质数。对于有的n来说，1到n里面的质数比较多一点。而对于有的n来说，1到n里面的质数比较少一点。但是随着n越来越大，n/ln(n)个质数的这个估计就必然会越来越准确。

所以如果有人问你，1到10100里有多少个质数呀？你大可以拍拍脑袋说，我猜有

个质数，基本离正确答案不会差太远。一般来说，如果我们用π (n) 来代表1到n里面的质数个数的话，那么

会如下图所示，逐渐趋于1。

prime number theorem | wikipedia

事实上，随着人们对质数的了解越来越多，我们越来越发现，在宏观上来讲，质数几乎等于是按照这个n/ln(n)来进行的一种均匀分布。无论是你去数质数的个数，还是计算所有质数的和，还是研究孪生质数，都会发现质数呈现出一种惊人的宏观均匀性。这就好像有一个操场上有无数多个学生，尽管每个学生都在瞎走一气，毫无规律可循，但是总体来看，居然发现操场上每个平方米里都恰好塞了4个学生！这真是很难想象的事情。但是目前来说，几乎我们对质数的一切了解，都在指向这个方向。

这也进一步说明了，为什么质数特别适合做密码：因为质数本身就几乎是随机的，很难找到具体的规律，因此最适合作为加密的手段。

三、那么怎么研究质数

咱们先别想那么多。假设我们就想研究三个数字，1，2，3。

怎么研究呢？一种研究方法是，我们可以考虑研究这个函数：

我宣称，这个函数的性质就包含了1，2，3的一切性质。为什么呢？

假设我们取s=10。那么这时候f(10)=1+1024+59049=60074。大家可以看到，这时候我们的f(10)和3 ¹⁰ 没差多少。事实上，随着s越来越大，1 ^s +2 ^s 相对于3 ^s 来说就越可以忽略不计。所以f(s)的这个s趋于无穷的极限的性质，其实就包含了一切的3的性质。

反过来，我们取s=-10。那么这时候f(10)=1+特别特别小+更加小，约等于1。可见，f(s)的这个s趋于负无穷的极限的性质，其实就包含了一切的1的性质。

那么怎么研究放在中间的2呢？这时候我们就要取复数了。考虑

当然，大家未必知道怎么计算复数幂，那么我直接把答案写出来吧。这时候，1 ^s 仍然是1，因为1的任何幂都是1。而2 ^s 是某个复数。最后，神奇的是，这个时候恰恰好3 ^s =-1，哇！所以说

这个时候研究f(s)就等于是在研究2，因为1的部分和3的部分完全抵消掉了。

更广义的来说，如果我们想研究所有的正整数，那么只要我们搞清楚函数

的一切性质，那么我们就搞清楚了全部的正整数。通过调整不同的s的值，我们就可以得到各种各样的抵消。

四、黎曼猜想

黎曼定义了一个ζ函数 （念zeta） ：

这基本上和我们之前定义的差不多，只是差了一个负号。 （黎曼定义这个负号，是因为希望s越大收敛性质越好。） 这里面s可以去各种各样的复数，而对应的这个函数的值可能是无穷，可能是0，也可能是某个其他的复数。

黎曼猜想宣称，如果ζ(s)=0，那么s的实数部分一定是1/2。换句话说，s一定是1/2+b· i  的样子。

但是为什么我们要在乎ζ(s)=0的值呢？

一般来说，我们调整各种各样的s的值的时候，ζ(s)里面合数的部分往往随随便便就被质数的部分“吸收”了，而质数和质数的幂相对来说就很却难被消掉，往往会残留下来。那么如果你恰好发现，对于某个s，ζ(s)居然等于0，也就是说质数也都消光了。这就说明质数里面必然存在的某种针对这个s的结构。可以这样想，一般来说，我们每找到ζ(s)的一个根，就等于找到了一个质数里面的规律。

而一般来说，不妨这样认为：一个根s的实数部分是1/2时，这对应的往往是最“没用”的规律。一个根s的实数部分离1/2如果很遥远，就意味着质数存在某种惊人的巨大的结构性。 （按照陶哲轩的话说，说明所有的质数们都一起针对这个s的值存在着某种惊天的阴谋！） 所以黎曼猜想等于是在说，质数最大的规律，就是没有什么突出的规律。这样看来，黎曼猜想是一种悲观论调。

那么，如果黎曼猜想是正确的，那么说明质数是没有惊天的结构的，是几乎均匀的随机的。这等于说，我们进一步验证了“质数其实是按照n/ln(n)来进行随机均匀分布的”这个数学直觉。学过概率统计的同学可能知道，随机数往往符合大数定理。黎曼猜想正确的一个明显的后果就是，质数不仅仅似乎是按照n/ln(n)的概率均匀分布，而且还符合大数定理！而大数定理对于随机数的研究是至关重要的。同理，黎曼猜想对于质数的研究也是至关重要的。

因此，不出意外的，如果黎曼猜想是正确的，那么无数个我们对数论的猜想和直觉都会得到验证。

五、黎曼猜想错了，天会不会塌？

如果能够找到黎曼猜想的反例，那么反而是一个天大的喜事！为什么？因为一旦我们找到了一个ζ(s)=0的根，且s的实数部分远离了1/2，这就说明我们找到了一个关于质数的极其重要的规律！ （发现了质数们的惊天阴谋！） 这个规律很可能会我们对数的研究和认识带来惊天动地的飞跃。

恰恰是，如果黎曼猜想被证明了，反而无关紧要。大家早就猜测黎曼猜想是正确的了，很多数学家早就已经在假设黎曼猜想正确的前提下，继续往前研究了。所以如果有人证明黎曼猜想是正确的，这只不过是验证了我们一直以来都没错而已，却并不能够带来进步。

事实上，这有一个更有趣的现象。有很多的数学定理，比如说 Littlewood定理 ，居然是这样证明的：

1） 假设黎曼猜想是正确的。那么质数具有非常美好的宏观均匀性。那么运用美好的宏观均匀性，证明了Littlewood定理。 （Littlewood定理在这部分大概用了12页。）

2） 假设黎曼猜想是错误的。那么黎曼猜想的反例就会给出一种质数之间的惊人的结构。这种结构甚至可以让你一步登天，直接证明Littlewood定理。 （Littlewood定理在这部分大概只用了半页。）

3） 所以说，无论黎曼定理是对的还是错的，反正Littlewood定理都是对的。证明完毕。

另外，大家可以看到，黎曼定理错误的时候，往往是证明更简洁更方便的时候！

总结一下，哪怕我们永远也不会知道黎曼猜想的对错，仅仅是黎曼猜想这个概念，就已经对数学产生了很大的推进作用。这就好像梦想一样，无论能否实现，都能让我们成为更好的人。

本文来自微信公众号： 果壳（ID：Guokr42） ，作者： Yilong（群论研究公众号，清华大学丘成桐数学中心助理教授，UCLA数学PhD）。

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